# Réponse finale obtenue du bot:
response = « La théorie des nombres est une branche majeure de la mathématique qui étudie les propriétés des entiers, c’est-à-dire les nombres naturels, les entiers positifs et négatifs, ainsi que les entiers complexes.
**Propriétés des nombres entiers**
Les entiers ont plusieurs propriétés importantes :
* La propriété de commutativité : la multiplication est commutative, c’est-à-dire que l’ordre dans lequel on multiplie deux entiers n’a pas d’importance.
* La propriété de associativité : la multiplication est associative, c’est-à-dire que l’ordre dans lequel on effectue les multiplications successives n’a pas d’importance.
* La propriété d’existence d’un élément neutre pour la multiplication : l’élément 1 est neutre pour la multiplication, car tout entier a pour produit avec 1 lui-même.
* La propriété d’existence d’un élément inverse pour la multiplication : tout entier non nul a un élément inverse, appelé son inverse multiplicatif.
**Théorèmes et conjectures célèbres**
La théorie des nombres est riche en théorèmes et conjectures célèbres. Voici quelques-uns exemples :
* Le théorème de Fermat : tout entier naturel n supérieur à 2 peut être écrit sous la forme a^(n-1) + b^(n-1) = c^(n-1), où a, b et c sont des entiers naturels.
* La conjecture de Goldbach : tous les entiers pairs peuvent être écrites comme somme de deux nombres premiers.
* Le théorème des restes quadratiques : si un nombre est égal à la somme de deux carrés d’entiers, alors il est égal à la somme de trois carrés d’entiers.
* La conjecture de Riemann : les zéta fonction régulière a des racines complexes dans le demi-plan gauche.
**Cryptographie**
La théorie des nombres joue un rôle crucial en cryptographie, car elle permet de concevoir des algorithmes de chiffrement et de déchiffrement résistants aux attaques. Les techniques utilisées incluent :
* La cryptanalyse : l’étude des méthodes pour briser les codes secrets.
* Les systèmes de chiffrement par blocs : les données sont divisées en blocs qui sont chiffrés séparément.
* Les systèmes de chiffrement par flux : les données sont chiffrées en continu.
En résumé, la théorie des nombres est une branche majeure de la mathématique qui étudie les propriétés des entiers et a des applications importantes en cryptographie. »