Objectifs du Cours
- Maîtriser les concepts et méthodes pour résoudre des équations et inéquations.
- Comprendre les propriétés des polynômes et des fonctions.
- Acquérir des compétences en algèbre linéaire et manipulation des matrices.
Plan du Cours
- Équations et Inéquations
- Équations linéaires et quadratiques
- Inéquations linéaires et quadratiques
- Systèmes d’équations et d’inéquations
- Polynômes et Fonctions
- Définition et propriétés des polynômes
- Racines et factorisation
- Fonctions rationnelles et irrationnelles
- Algèbre Linéaire et Matrices
- Introduction aux matrices et opérations matricielles
- Déterminants et inverses de matrices
- Systèmes d’équations linéaires et espaces vectoriels
- Valeurs propres et vecteurs propres
1. Équations et Inéquations
1.1 Équations Linéaires et Quadratiques
Concepts Clés :
- Équations linéaires : Forme générale ( ax + b = 0 ).
- Équations quadratiques : Forme générale ( ax^2 + bx + c = 0 ).
Méthodes de Résolution :
- Linéaires :
- Isoler ( x ) : ( x = -\frac{b}{a} ).
- Quadratiques :
- Factoring : ( ax^2 + bx + c = a(x – r_1)(x – r_2) ).
- Formule quadratique : ( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} ).
- Compléter le carré.
Exemples :
- Résolution de ( 3x + 5 = 0 ).
- Résolution de ( 2x^2 + 3x – 2 = 0 ) par factoring et formule quadratique.
1.2 Inéquations Linéaires et Quadratiques
Concepts Clés :
- Inéquations linéaires : Forme générale ( ax + b > 0 ) ou ( ax + b < 0 ).
- Inéquations quadratiques : Analyser le signe de ( ax^2 + bx + c ).
Méthodes de Résolution :
- Linéaires :
- Isoler ( x ) et déterminer les intervalles de solutions.
- Quadratiques :
- Trouver les racines de l’équation associée ( ax^2 + bx + c = 0 ).
- Utiliser le signe du polynôme entre et au-delà des racines.
Exemples :
- Résolution de ( 2x – 3 > 0 ).
- Résolution de ( x^2 – 4x + 3 \leq 0 ).
1.3 Systèmes d’Équations et d’Inéquations
Concepts Clés :
- Systèmes d’équations linéaires : Simultanément résoudre ( ax + by = c ) et ( dx + ey = f ).
- Systèmes d’inéquations : Trouver les régions satisfaisant plusieurs inéquations simultanément.
Méthodes de Résolution :
- Graphique : Tracer les lignes et déterminer les points d’intersection.
- Substitution : Résoudre une équation pour une variable et substituer dans l’autre.
- Élimination : Additionner ou soustraire les équations pour éliminer une variable.
Exemples :
- Résolution de ( 2x + 3y = 6 ) et ( x – y = 1 ).
- Résolution graphique d’un système d’inéquations.
2. Polynômes et Fonctions
2.1 Définition et Propriétés des Polynômes
Concepts Clés :
- Polynôme : Expression de la forme ( P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + … + a_1x + a_0 ).
- Degré d’un polynôme : Le plus grand exposant ( n ) avec un coefficient ( a_n \neq 0 ).
Propriétés :
- Addition et multiplication de polynômes.
- Division de polynômes et reste.
- Théorème de la division : ( P(x) = (x – r)Q(x) + R ).
Exemples :
- Addition et multiplication de ( P(x) = x^2 + 2x + 1 ) et ( Q(x) = x^3 – x ).
- Division de ( P(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 4 ) par ( x – 1 ).
2.2 Racines et Factorisation
Concepts Clés :
- Racine : ( r ) est une racine de ( P(x) ) si ( P(r) = 0 ).
- Factorisation : Décomposer ( P(x) ) en produits de polynômes de degré inférieur.
Méthodes :
- Théorème des racines rationnelles.
- Factorisation par regroupement et techniques algébriques.
- Utilisation de la division synthétique.
Exemples :
- Trouver les racines de ( x^3 – 4x^2 + 5x – 2 ).
- Factoriser ( x^3 – 6x^2 + 11x – 6 ).
2.3 Fonctions Rationnelles et Irrationnelles
Concepts Clés :
- Fonctions rationnelles : Quotient de deux polynômes ( \frac{P(x)}{Q(x)} ).
- Fonctions irrationnelles : Impliquent des racines non rationnelles.
Propriétés :
- Domaines de définition et asymptotes.
- Continuité et dérivabilité des fonctions rationnelles.
Exemples :
- Analyse de ( \frac{x^2 – 1}{x – 1} ).
- Étude de la fonction ( f(x) = \sqrt{x^2 – 4} ).
3. Algèbre Linéaire et Matrices
3.1 Introduction aux Matrices et Opérations Matricielles
Concepts Clés :
- Matrice : Tableau rectangulaire de nombres.
- Opérations : Addition, multiplication, transposition.
Propriétés :
- Identité et matrices inverses.
- Déterminants et propriétés des déterminants.
Exemples :
- Addition et multiplication de matrices ( A ) et ( B ).
- Calcul du déterminant de ( \begin{pmatrix} 2 & 3 \ 1 & 4 \end{pmatrix} ).
3.2 Déterminants et Inverses de Matrices
Concepts Clés :
- Déterminant : Fonction scalaire qui donne des informations sur la matrice.
- Inverse : Matrice ( A^{-1} ) telle que ( AA^{-1} = I ).
Méthodes :
- Cofacteurs et mineurs pour le calcul des déterminants.
- Méthode de Gauss-Jordan pour trouver l’inverse.
Exemples :
- Calcul du déterminant de matrices 3×3.
- Trouver l’inverse de ( \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix} ).
3.3 Systèmes d’Équations Linéaires et Espaces Vectoriels
Concepts Clés :
- Systèmes linéaires : Forme générale ( AX = B ).
- Espaces vectoriels : Collection de vecteurs fermés sous addition et multiplication scalaire.
Méthodes :
- Méthode d’élimination de Gauss pour résoudre les systèmes linéaires.
- Bases, dimension et sous-espaces vectoriels.
Exemples :
- Résolution de ( \begin{cases} 2x + 3y = 6 \ x – y = 1 \end{cases} ) par élimination de Gauss.
- Détermination de la base d’un espace vectoriel.
3.4 Valeurs Propres et Vecteurs Propres
Concepts Clés :
- Valeur propre : ( \lambda ) tel que ( Av = \lambda v ) pour un vect