Objectifs du Cours
- Comprendre les propriétés fondamentales des nombres entiers.
- Étudier les théorèmes et conjectures célèbres en théorie des nombres.
- Explorer les applications de la théorie des nombres en cryptographie.
Plan du Cours
- Introduction à la Théorie des Nombres
- Histoire et importance de la théorie des nombres.
- Aperçu des sous-domaines : nombres premiers, entiers, congruences, etc.
- Propriétés des Nombres Entiers
- Division et divisibilité.
- Nombres premiers et factorisation.
- Théorème fondamental de l’arithmétique.
- Congruences et système de résidus.
- Fonctions arithmétiques (fonction d’Euler, somme des diviseurs, etc.).
- Théorèmes et Conjectures Célèbres
- Théorème de Fermat (Petit et Grand).
- Théorème des Nombres Premiers.
- Conjecture de Goldbach.
- Conjecture des Nombres Premiers Jumeaux.
- Théorème de Dirichlet sur les progressions arithmétiques.
- Conjecture de l’Équidistribution Modulaire des Facteurs Premiers (CEMFP).
- Applications en Cryptographie
- Introduction à la cryptographie.
- Algorithmes de cryptographie asymétrique (RSA).
- Courbes elliptiques et cryptographie ECC.
- Méthodes de factorisation et leur importance en sécurité.
- Protocoles cryptographiques et sécurité de l’information.
Détail du Cours
1. Introduction à la Théorie des Nombres
Contenu :
- Présentation générale de la théorie des nombres.
- Applications historiques et modernes.
- Importants mathématiciens et leurs contributions.
Objectifs d’apprentissage :
- Comprendre le rôle central de la théorie des nombres dans les mathématiques.
- Apprécier l’évolution historique de ce domaine.
2. Propriétés des Nombres Entiers
Contenu :
- Division et Divisibilité :
- Critères de divisibilité.
- Nombres parfaits, amis et autres classifications.
- Nombres Premiers et Factorisation :
- Définition et propriétés des nombres premiers.
- Algorithmes de factorisation (méthode de division, algorithme d’Euclide).
- Théorème Fondamental de l’Arithmétique :
- Décomposition unique en produit de nombres premiers.
- Congruences et Systèmes de Résidus :
- Notion de congruence modulo ( n ).
- Théorème chinois des restes.
- Fonctions Arithmétiques :
- Fonction d’Euler ( \phi(n) ).
- Somme des diviseurs ( \sigma(n) ).
Objectifs d’apprentissage :
- Maîtriser les concepts de base de la divisibilité et des nombres premiers.
- Comprendre et appliquer les congruences et les fonctions arithmétiques.
3. Théorèmes et Conjectures Célèbres
Contenu :
- Théorème de Fermat :
- Petit théorème de Fermat : ( a^{p-1} \equiv 1 \mod p ).
- Grand théorème de Fermat et sa preuve par Andrew Wiles.
- Théorème des Nombres Premiers :
- Distribution asymptotique des nombres premiers.
- Formule de la densité de Chebyshev.
- Conjecture de Goldbach :
- Chaque nombre pair > 2 est la somme de deux nombres premiers.
- Conjecture des Nombres Premiers Jumeaux :
- Il existe une infinité de paires de nombres premiers ( (p, p+2) ).
- Théorème de Dirichlet :
- Les progressions arithmétiques contiennent une infinité de nombres premiers.
- Conjecture de l’Équidistribution Modulaire des Facteurs Premiers (CEMFP) :
- Les facteurs premiers de ( n ) sont distribués de manière équitable entre les classes de congruence modulo ( m ).
Objectifs d’apprentissage :
- Connaître et comprendre les théorèmes et conjectures majeures de la théorie des nombres.
- Apprécier les techniques et les idées derrière ces résultats.
4. Applications en Cryptographie
Contenu :
- Introduction à la Cryptographie :
- Principes de base : chiffrement et déchiffrement.
- Cryptographie symétrique vs asymétrique.
- Algorithmes de Cryptographie Asymétrique :
- RSA : principes, génération de clés, chiffrement et déchiffrement.
- Propriétés des nombres premiers et de la factorisation dans RSA.
- Courbes Elliptiques (ECC) :
- Introduction aux courbes elliptiques.
- Application des courbes elliptiques en cryptographie.
- Méthodes de Factorisation :
- Importance de la factorisation en cryptographie.
- Algorithmes de factorisation : méthode de Fermat, factorisation par p-1 de Pollard.
- Protocoles Cryptographiques :
- Protocoles de clé publique (Diffie-Hellman).
- Sécurité de l’information et défis contemporains.
Objectifs d’apprentissage :
- Comprendre les bases de la cryptographie et l’utilisation des nombres premiers.
- Apprécier l’importance de la théorie des nombres dans la sécurité de l’information.
Conclusion
Ce cours sur la théorie des nombres explore les propriétés fondamentales des nombres entiers, les théorèmes et conjectures célèbres, et les applications en cryptographie. En combinant des concepts théoriques avec des applications pratiques, ce cours offre une compréhension complète de la richesse et de la profondeur de la théorie des nombres. Les étudiants seront bien préparés pour poursuivre des recherches avancées ou des carrières en mathématiques appliquées et en sécurité informatique.