Introduction à l’École Mathématique de Göttingen
Entre 1903 et 1907, l’École Mathématique de Göttingen, dirigée par David Hilbert, est au cœur de développements révolutionnaires dans les méthodes de résolution des équations intégrales. Cette période marque une avancée significative dans la géométrisation discrète des espaces de fonctions, influencée par les travaux de Fredholm et les séries de Fourier.
La Méthode de Fredholm et les Séries de Fourier
Hilbert et ses collègues se sont appuyés sur la méthode de Fredholm, qui est similaire aux techniques d’algèbre linéaire utilisées pour résoudre des systèmes d’équations. En exploitant les séries de Fourier, ils ont commencé à développer une représentation géométrique des espaces de fonctions, ce qui a permis de formuler des solutions aux équations intégrales.
Contributions de Hilbert et Schmidt
Hilbert a introduit une forme quadratique basée sur les fonctions propres des équations intégrales et les extrema de valeurs propres, offrant ainsi une description détaillée des solutions. En 1905, Erhard Schmidt a simplifié cette approche dans sa thèse en définissant directement un produit scalaire. Cette innovation a permis de lire les espaces de fonctions comme des espaces euclidiens de dimension infinie, redécouvrant les solutions proposées par Hilbert.
Impact et Réécriture par Hilbert
Reconnaissant la signification de la contribution de Schmidt, Hilbert a révisé l’ensemble de sa géométrie pour inclure ces nouveaux espaces de fonctions. Il a étudié l’espace L²([0, 2π]) comme un espace vectoriel euclidien de dimension infinie, explorant les formes bilinéaires symétriques bornées. Cette réécriture a posé les bases de nombreux développements futurs en mathématiques.