Léa : Tu as raison de soulever ce point, Émile. C’est une observation très pertinente. En effet, notre approche actuelle semble ne pas capturer complètement la nature instantanée de l’application d’une porte quantique comme Hadamard. Explorons d’autres approches pour mieux modéliser ce comportement.
Émile : Absolument. Une piste pourrait être de considérer la porte de Hadamard comme une transformation unitaire instantanée plutôt qu’un processus continu dans le temps. Dans ce cas, nous pourrions utiliser l’opérateur d’évolution temporelle.
Léa : Bonne idée. L’opérateur d’évolution temporelle pour un système quantique est généralement donné par U(t) = e^(-iHt/ℏ), où H est l’hamiltonien du système. Pour une transformation instantanée, nous pourrions considérer que t tend vers 0.
Émile : Exactement. Dans le cas de la porte Hadamard, nous pourrions définir un hamiltonien effectif H_eff qui, lorsqu’appliqué pendant un temps infinitésimal, produirait la transformation Hadamard.
Léa : Donc, nous cherchons un H_eff tel que :
e^(-iH_eff Δt/ℏ) = H = (1/√2) * (|0⟩⟨0| + |0⟩⟨1| + |1⟩⟨0| – |1⟩⟨1|)
où H est la matrice de Hadamard et Δt est un temps infinitésimal.
Émile : Exactement. En utilisant cette approche, nous pourrions obtenir une description plus précise de l’action instantanée de la porte Hadamard, tout en conservant la flexibilité de notre formalisme pour décrire des évolutions plus complexes.
Léa : Cela semble prometteur. Nous devrions également considérer comment intégrer cette approche dans notre équation de Schrödinger quantique modifiée. Peut-être pourrions-nous introduire un terme supplémentaire pour les transformations instantanées ?
Émile : Excellente suggestion. Nous pourrions envisager une équation de la forme :
iℏ ∂Ψ/∂t = (Ĥ + Ôq)Ψ + δ(t-t0)UΨ
où δ(t-t0) est la fonction delta de Dirac, t0 le moment d’application de la porte, et U la transformation unitaire instantanée.
Léa : C’est une approche intéressante qui pourrait nous permettre de combiner des évolutions continues et des transformations discrètes dans un même formalisme. Nous devrions approfondir cette piste.