# Réponse finale obtenue du bot:
response = « **Algèbre : Propriétés et applications**
### Équations et inéquations
* Propriété de l’addition des équations : si $ax + by = c$ et $dx + ey = f$, alors $adx + bey = cf$
* Propriété de la multiplication par un scalaire : si $k \in \mathbb{R}$ et $ax = b$, alors $k(ax) = kb$
* Équation linéaire à une inconnue : si $ax + by = c$ avec $a, b, c \in \mathbb{R}$ et $x \in \mathbb{R}$, alors on peut résoudre l’équation en utilisant la méthode des frères Cramer
* Inéquations linéaires : si $ax + by > c$ ou $ax + by < c$, alors on peut utiliser les propriétés de l'addition et de la multiplication par un scalaire pour simplifier l'inéquation
### Polynômes et fonctions
* Propriété de l'addition des polynômes : si $P(x) = a_nx^n + ... + a_1x + a_0$ et $Q(x) = b_mx^m + ... + b_1x + b_0$, alors $(P+Q)(x) = (a_n+b_m)x^{n+m} + ...$
* Propriété de la multiplication par un scalaire : si $k \in \mathbb{R}$ et $P(x) = a_nx^n + ... + a_1x + a_0$, alors $(kP)(x) = ka_nx^n + ... + ka_1x + ka_0$
* Propriété de la multiplication de polynômes : si $P(x) = a_nx^n + ... + a_1x + a_0$ et $Q(x) = b_mx^m + ... + b_1x + b_0$, alors $(PQ)(x) = a_nb_mx^{n+m} + ...$
* Fonctions polynômes : si $P(x)$ est un polynôme, alors la fonction $f(x) = P(x)$ est définie pour tout $x \in \mathbb{R}$
### Algèbre linéaire et matrices
* Propriété de l'addition des vecteurs : si $\vec{u} = (a_1, a_2, ..., a_n)$ et $\vec{v} = (b_1, b_2, ..., b_n)$, alors $\vec{u} + \vec{v} = (a_1+b_1, a_2+b_2, ..., a_n+b_n)$
* Propriété de la multiplication par un scalaire : si $k \in \mathbb{R}$ et $\vec{u} = (a_1, a_2, ..., a_n)$, alors $k\vec{u} = (ka_1, ka_2, ..., ka_n)$
* Propriété de la multiplication matricielle : si $\mathbf{A} = [a_{ij}]$ est une matrice carrée et $\mathbf{B} = [b_{ij}]$ est une autre matrice carrée, alors $\mathbf{AB} = [c_{ij}]$ où $c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + ... + a_{in}b_{nj}$
* Invariants sous les transformations linéaires : si $\mathbf{T}$ est une transformation linéaire, alors la matrice associée à $\mathbf{T}$ conserve les invariants de l'espace vectoriel
J'espère que cela vous aidera à comprendre les propriétés et les applications de l'algèbre !"