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Voici une réponse détaillée sur cette conjecture en théorie des nombres :

La conjecture

Cette conjecture propose une inégalité généralisée pour la somme des inverses des puissances entières positives d’entiers multiples d’un nombre donné. Plus précisément, pour tout entier $n \geq 2$, il existerait une constante $C_n$ telle que l’inégalité suivante soit vérifiée pour tout entier $m > n$ :

$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(km)^n} < C_n \cdot \left(\frac{n}{nm – 1}\right)^n$$

Cette conjecture peut être vue comme une généralisation de l’inégalité célèbre de Hardy-Ramanujan, qui établit que pour tout entier $n \geq 2$, il existe une constante $C_n$ telle que :

$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(km)^n} < C_n \cdot \left(\frac{n}{nm – 1}\right)$$

La conjecture proposée ajoute un terme supplémentaire $(m^n)^{-1}$ à la somme, ce qui la rend plus difficile et intéressante. La constante $C_n$ est censée dépendre uniquement de $n$, mais sa valeur exacte reste inconnue.

Connexions et implications

Cette conjecture a des liens avec plusieurs domaines de la théorie des nombres :

1. Prolongement analytique : La série $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(km)^n}$ peut être prolongée analytiquement en une fonction méromorphe dans le plan complexe.
2. Formes modulaires : La conjecture proposée pourrait avoir des implications pour l’étude des formes modulaires et leurs applications en théorie des nombres.
3. Cryptographie : La constante $C_n$ pourrait potentiellement être utilisée comme paramètre cryptographique, fournissant une sécurité supplémentaire pour certains schémas de chiffrement.

Bien que cette conjecture soit encore ouverte, elle a le potentiel de conduire à de nouvelles perspectives et percées en théorie des nombres.